酵素動力學（Enzyme Kinetics）是一門生物化學的子領域，用來定量描述酵素的催化機制與代謝活性等。雖然這是基礎生物化學課程中必備的內容，但理論介紹往往流於簡略未能深入解析。本文將先從其中的核心模型——Michaelis-Menten 方程開始介紹，佐以部分發展史料以便各位讀者理解其理論架構的形成，希望能幫助對此感到困惑的生醫相關科系學生釐清概念。

由於會用到大量高中程度的化學反應速率與平衡相關知識，建議不熟悉的人可以先去複習一下。

發酵作用對酵素動力學的啟發

在進入定量分析之前，先來具體想像一下酵素的作用機制。我們在國高中的生物都有學過所謂的「鎖鑰假說（lock-and-key model）」，這在 1890 年就由鼎鼎大名的德國化學家 Emil Fischer 提出：酵素與受質會有立體結構上的對應使兩者結合（雖然現在更廣為接受的是「誘導契合（induced-fit）模型」）。於是今天當我們要討論酵素（enzyme, 以下簡寫為 \(\mathrm{E}\)）與受質（substrate, 以下簡寫為 \(\mathrm{S}\)）產生產物（product, 以下簡寫為 \(\mathrm{P}\)），起碼會要先結合成酵素與受質的複合物（以 \(\mathrm{ES}\) 表示），再來才會得到產物，作為催化劑的酵素也同時被釋放回環境裡。寫成平衡反應式會是這樣：

\[
\mathrm{E} + \mathrm{S} \underset{k_{-1}}{\overset{k_{1}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{ES} \underset{k_{-2}}{\overset{k_{2}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{E} + \mathrm{P}
\]

如果你試著把它寫成速率定律式，應該不難發現分析會變得有點複雜，於是在實驗設計上會嘗試給予極端的反應環境，讓變因變得單純，產生的結果就會集中體現在某些特徵。在這裡的酵素與受質作用的實驗中就往往用過量的受質去和酵素反應，於是產物的生成速率就很取決於酵素本身的效能，而這正是我們所想要探討的部分。

19 世紀後葉，科學家們正逐漸發現到發酵作用（fermentation）和酵素的關聯（注意英文的發酵和酵素這兩個詞根本無關，別因為中文翻譯而覺得這是廢話 XD），方法是利用酵母菌中會有的 invertase（將蔗糖水解成葡萄糖和果糖的一種酵素）來觀察其反應速率，之所以用這個酵素是因為蔗糖水解的前後，比旋光度會由正轉負（蔗糖的 \([\alpha]_D^{20}\) 為 \(+66.5^{\circ}\)、葡萄糖 \(+52.5^{\circ}\)、果糖 \(-92^{\circ}\)），那就能用旋光度計（polarimeter）來判斷反應是否完成，並由所經時間推估反應速率，這也是它之所以被稱為 “invert”-ase 的原因。

看不懂就算了的進階討論：invertase 和 sucrase 的差異？

這兩個酵素都是水解蔗糖的醣苷酶（glycosidases），產物都是「α-D-葡萄糖」與「β-D-果糖」，但是 invertase 存在於酵母菌或其他真菌、細菌中，sucrase 才是我們所熟悉的哺乳動物腸道內會有的蔗糖酶。而且兩者的反應機構略有不同，前者在醣苷鍵斷的是果糖那一側（葡萄糖先離去），後者則相反。

生化不錯的同學或許還知道醣苷酶根據其反應機構可以分為 “inverting” 與 “retaining” 兩種類型，其所謂的「反轉」與「保留」是指直接的單醣產物是否會變成 anomer：前者會在 anomeric 碳上發生一次 \(\mathrm{S_N2}\)，後者發生兩次所以又反轉回去；然而這裡的 invertase 和 sucrase 都是 “retaining” 的（別被 invertase 的名字誤導了），也就是說組成蔗糖的那兩個單醣的 α/β 在反應前後一致，兩者其實都會讓水解前後的旋光度「反轉」，但此反轉非彼反轉，之所以只有 invertase 用這層意義命名單純是歷史因素，也是為了避免混淆，更正式的名稱其實叫做 “β-fructofuranosidase”，強調它往果糖那側切下的特性。

不過話說，就算是 “inverting” 的醣苷酶讓直接產物會變 anomer，在水溶液本就會自發性的發生變旋（mutarotation），所以其實一樣會因為果糖的最終的左旋程度大於葡萄糖的右旋程度讓這個混合物產物的旋光度反轉，只是這裡為了詳細解釋差異而這麼說明罷了。

1892 年英國伯明罕大學的 Adrian Brown 教授發現，無論初始蔗糖濃度是多少，固定酵母菌的量就會有固定的反應速率（[S]-t 圖直線下降，反應對蔗糖濃度是零級），但當時有其他學者實驗發現，用純化的 invertase 與蔗糖的反應的結果卻是反應速率和蔗糖濃度成正比（[S]-t 圖等比下降，反應對蔗糖濃度是一級），因此究竟發酵作用是否由酵素引起還一時無法確定。

Brown 教授於是又進一步研究來重新驗證這件事，終於在 1902 年澄清了這個矛盾的原因：如果預先加了果糖與葡萄糖混合液（產物會抑制酵素），或將蔗糖稀釋，反應對蔗糖濃度就不再是零級，也就是說當產物濃度夠小，而且受質濃度夠大，酵素的反應速率才和受質濃度無關（這時候才是零級）。

於是他合理猜想，酵素將受質轉換成產物的那一步應該相當耗時，讓反應在受質和酵素結合成 \(\mathrm{ES}\) 之後會被拖住，這時再給更多受質才都沒幫助，端看酵素有多少反應就跑多少，言下之意，\(\mathrm{ES}\) 變成 \(\mathrm{E+P}\) 的那步是速率決定步驟（RDS）；而且我們討論的必須是酵素發生反應的前期，如果反應過了太久讓產物累積太多，那就又會和受質濃度有關了。

這項研究給了酵素動力論的建構很大的啟發，尤其是 ES 複合體的重要性，在酵素學上將酵素全部轉為 \(\mathrm{ES}\) 的狀態稱為「飽和（saturation）」，在下一篇介紹 Hill 方程的文章中會大量討論。接著許多學者相繼進行數學建模，對應到前面寫的總反應式，相當於我們可以基於以上前提不考慮第二步的逆反應：

\[
\mathrm{E} + \mathrm{S} \underset{k_{-1}}{\overset{k_{1}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{ES}\ {\overset{k_{2}}{\rightarrow}}\ \mathrm{E} + \mathrm{P}
\]

至於速率定律式當然就是：

\[
v=\dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt}=k_2 [\mathrm{ES}]
\]

其中如果可以得到 \([\mathrm{ES}]\)，那就能從實驗的產物生成速率推算 \(k_2\) 這個體現酵素催化能力的參數，也因此 \(k_2\) 常被寫成「催化常數（catalytic constant, \(k_{\mathrm{cat}}\)）」 來強調這層意義。我們先根據它前後的生成與消耗的反應速率定律式這樣表示 \([\mathrm{ES}]\) 的生成速率：

\[
\begin{align*}
\dfrac{d[\mathrm{ES}]}{dt}&=k_1[\mathrm{E}][\mathrm{S}]-k_{-1}[\mathrm{ES}]-k_{2}[\mathrm{ES}]\\ &=k_1[\mathrm{E}][\mathrm{S}]-(k_{-1}+k_2)[\mathrm{ES}]
\end{align*}
\]

然後直接對兩邊積分來解這微分方程？不，還沒分析第一步反應的平衡狀況，\([\mathrm{E}]\)、\([\mathrm{S}]\) 和 \([\mathrm{ES}]\) 還有對應的速率常數分別是多少都還未知，所以現在的重點來到這個平衡究竟如何描述。

Michaelis-Menten 模型

在高中化學應該都有學到，在微觀上的單步驟反應中，也就是滿足質量作用定律（law of mass action）時，反應方程中各反應物的係數就是它在速率定律式級數（所以多步驟或機構複雜的反應不能這樣玩，反應級數只能用實驗測），因此這時平衡常數直接等於正逆反應速率常數的比值：

\[
K=\dfrac{k_{正}}{k_{逆}}
\]

回到現在的情境，如果單看第一步的平衡，我們現在的討論也相當單純，就是單一受質 E 與單一酵素 S 結合的一步驟反應。可是第二步的催化不能省略啊，它甚至還是速率決定步驟⋯⋯？這就是這裡要新增的一項前提了，我們姑且先因為他是速率決定步驟，把第一步的平衡反應視為在一瞬間完成，第二步的反應相較於它慢到無法產生顯著影響，那就可以直接當它是平衡反應來用平衡常數分析！這種感覺是否似曾相識？在普物的熱力學不也是假設過程足夠緩慢，時時處於熱平衡的狀態而描述為「準靜態（quasi-static）」嗎？這裡的平衡狀態也可以說是一種「準平衡（quasi-equilibrium）」。

並請特別留意這個再明顯不過的事實：顧名思義，這是「動力學」模型，不是熱力學；這意味著我們所討論的核心是反應速率，而非平衡常數。也必須要是討論攸關反應過程的反應速率（動力學），否則如果光分析只看反應前後濃度的平衡常數（熱力學），根本無法體現作為催化劑的酵素的性質，不是嗎？但我們卻可以用上述關係來建立平衡常數與速率常數的關聯，這就讓我們可以透過巨觀的濃度變化來參透微觀上的分子運動表現，而這是基於現在討論的情境是每一步都是簡單一步驟完成的反應才得以成立（滿足質量作用定律），特此澄清！

以上的想法與後續數學模型的推導主要由俄裔的法國物理化學家 Victor Henri 在與 Brown 教授的那篇同年發表，他的模型甚至是考量到生成的產物回去抑制酵素的效果，因為他對 Brown 預設產物濃度低到不影響的說法實在相當有意見，但是這樣就僅止於數學模型的表述，在實務上要如何分析酵素分別和受質與產物的結合比例會是個大哉問。

1913 年，德國柏林市立醫院的醫學與生化學家 Leonor Michaelis 與剛在加拿大的多倫多大學拿到 M.D. 的 Maud Leonora Menten 利用 Henri 的模型繼續研究（Menten 身為女性在當時的加拿大的環境不被允許從事研究而遠赴柏林加入 Michaelis 的實驗室），他們把焦點著重在「初始速度（initial velocity, \(v_0\)）」，那就能名正言順的使用 Brown 對產物抑制效果可略的前提了。不僅如此，他們還給出了相當完整的實驗策略，本就有研究氫離子對酵素的影響的 Michaelis 還引入了 pH 值來討論酸鹼度對酵素的抑制（pH 值的概念剛在 1909 由丹麥化學家 Sørensen 提出），於是他們兩人的這篇論文可以說是搶盡了鋒頭，這個酵素動力論的經典方程也就幾乎被稱為「Michaelis-Menten 方程」，鮮少會看到有人完整說是「Henri-Michaelis-Menten 方程」。

為求理解方便，以下我用現今慣用的符號來推演這個方程，並且用 \([\mathrm{E_T}]\) 表示酵素總濃度（T 表示 total），而且因為酵素可能以 \(\mathrm{E}\) 或 \(\mathrm{ES}\) 的型態存在，\([\mathrm{E_T}]=[\mathrm{E}]+[\mathrm{ES}]\)。如果只考慮反應剛發生沒多久的初始狀態，起碼有這些前提和推論：

現在我們又想因為第二步（速率決定步驟）反應夠慢而將 \(\mathrm{ES}\) 視為處於準平衡，暫且新增這個假定：\(k_2 \ll k_{-1}\)（下一節會告訴你這其實大可不必），那麼 \([\mathrm{ES}]\) 的生成速率就變成：

\[
\dfrac{d[\mathrm{ES}]}{dt}=k_1[\mathrm{E}][\mathrm{S}]-k_{-1}[\mathrm{ES}]
\]

其中因為準平衡，如果用 \(K\) 表示 \(\mathrm{ES}\) 往回分解出 \(\mathrm{E+S}\) 的反應的平衡常數的話：

\[
K=\dfrac{k_{-1}}{k_1}=\dfrac{[\mathrm{E}][\mathrm{S}]}{[\mathrm{ES}]}
\]

如果要把 \([\mathrm{ES}]\) 代回產物的速率定律式，得先想辦法處理和 \([\mathrm{ES}]\) 的量密切相關的 \([\mathrm{E}]\)，還記得吧？兩者的總和是酵素總濃度 \([\mathrm{E_T}]\)：

\[
\begin{align*}
&[\mathrm{ES}]=\dfrac{([\mathrm{E_T}]-[\mathrm{ES}])[\mathrm{S}]}{K}\\
&\Rightarrow K[\mathrm{ES}]=[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]-[\mathrm{ES}][\mathrm{S}]\\
&\Rightarrow[\mathrm{ES}]=\dfrac{[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K+[\mathrm{S}]}\\
&\Rightarrow v_0=\left. \dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt} \right|_{t\rightarrow 0}=k_2[\mathrm{ES}]=\dfrac{k_2[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K+[\mathrm{S}]}
\end{align*}
\]

其中，分子的 \(k_2[\mathrm{E_T}]\) 有特殊的物理意義，仔細觀察右邊剩下的分式 \([\mathrm{S}]/(K+[\mathrm{S}])\)，你會發現當 \([\mathrm{S}]\gg K\) 的時候會趨近 \(1\)，且由於 \([\mathrm{S}]\) 和 \(K\) 都是正值，在這時得到的 \(v_0\) 會是最大值：

\[
v_0=k_2[\mathrm{ES}]=k_2[\mathrm{E_T}] \overset{def}{=} V_{\mathrm{max}}
\]

這代表什麼事？此時 \([\mathrm{ES}]=[\mathrm{E_T}]\) 表示酵素全部都轉為 \([\mathrm{ES}]\) 的型態（飽和），而且這發生在加入的受質濃度非常大的時候（\([\mathrm{S}]\gg K\)）讓反應當然幾乎向右走（勒沙特列原理），並且這個效果到達了極致。注意別把這個描述和前面說的 \([\mathrm{S}]\gg [\mathrm{E_T}]\) 搞混了喔，這個前提是指受質和酵素總濃度相對而言非常大，但還不致於大到讓酵素飽和，反應初速率可能是小於 \(V_{\mathrm{max}}\) 的任何正值；如果要讓酵素飽和，必須要大到 \([\mathrm{S}]\gg K\) 這種程度，這時反應初速率才達到 \(V_{\mathrm{max}}\)。

而且不難注意到，如果 \(K=[\mathrm{S}]\)，這個分式就等於 \(1/2\)，也就是說 \(K\) 不僅僅是 \([\mathrm{ES}]\) 往回分解的平衡常數，它還恰好等於催化反應初速率要是 \(V_{\mathrm{max}}/2\) 所需的受質濃度，稍後會再來仔細討論這件事。

再稍微來觀念澄清一下：在化學上，對於解離反應的平衡常數有所謂的「解離常數（dissociation constant, \(K_{\mathrm{d}}\)）」，並且常被拿來和這裡的 \(K\) 值比較。這兩者看似幾乎一樣都是描述物質分解的「平衡常數」，但有真的一樣嗎？別忘了我們所討論的反應並不是真正來到「平衡」，而是「準平衡」，為了加以區分，一般會將以上 Michaelis-Menten 方程中的 \(K\) 值記為 \(K_{\mathrm{s}}\)，並特別稱之為「ES 複合體的解離常數（dissociation constant of the enzyme-substrate complex）」。

如果你好奇 Henri 與 Michaelis-Menten 當初寫出的方程究竟長怎樣⋯⋯

假設蔗糖水解的產物的量（不是濃度）在時間為 \(t\) 時有 \(x\)，蔗糖最初的量是 \(a\)，那此時待反應的物質的量就是 \(a-x\)，並且含有量為 \(\Phi\) 的酵素。Henri 接著仔細分析這些酵素和待反應物 \(a-x\) 與會抑制它的產物 \(x\) 的結合情況，對應的比例係數為 \(m\) 和 \(n\)，得到的結果如下：

\[
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\mathrm{K\Phi}(a-x)}{1+m(a-x)+nx}
\]

如果只考慮反應最初還沒有產物的瞬間狀態（這在 Henri 的原文沒有這樣做），也就是在 \(t=0\) 的時候，\(x=0\)，此時的反應速率就是 Michaelis-Menten 所著重的初速率：

\[
\left. \dfrac{dx}{dt}\right|_{t\rightarrow 0}=\dfrac{\mathrm{K\Phi}a}{1+ma}
\]

其中 \(\mathrm{K}\) 是速率常數（在當時還沒有小寫表示速率常數、大寫表示平衡常數的這種慣例），但是他的分母還用了 \(m\) 和 \(n\) 去調整酵素活性，所以真正對應到我們的 \(k_2\) 的是 \(\mathrm{K}/m\)。你可以和我們前面推導出的公式對照看看，它們其實是一樣的，只是符號不同、常數在各項的分佈與意義也略有不同罷了：\(m\) 相當於我們的 \(1/K_{\mathrm{s}}\)，\(\mathrm{K}\) 相當於 \(k_2/K_{\mathrm{s}}\)，通分 \(K_{\mathrm{s}}\) 倍就和前面的推導結果相同。

至於 Michaelis-Menten 後來寫出的方程則是長這樣：

\[
v=C\Phi \dfrac{[S]}{[S]+k}
\]

\(C\) 就是我們的 \(k_2\)，\(k\) 則是前面說的 \(K_{\mathrm{s}}\)，而速率的部分也沒有現在習慣用下標一個 “0” 的寫法，只在文字敘述中強調是「初速」（德文原文：Anfangsgeschwindigkeit）。

另一種思路：穩態假定

除了 Henri-Michaelis-Menten 的方程，洛克菲勒大學的美國荷蘭裔生化學家 Donald Van Slyke 在幾年後用不同的假定給出了另一個觀點，他和他的助手 G. E. Cullen 是利用尿素酶（urease）來分析酵素的反應速率，這個酶原本只在某些細菌或真菌中找得到，是 1909 年日本東京帝大農科大學的竹内たけうち徳三郎とくさぶろう發現在大豆中富含有這種酶之後才開始被廣泛用來做相關的實驗觀察。

前面提到 invertase 是用旋光度計觀察反應前後的比旋光度差異，但其實這準確度會因為葡萄糖本身的變旋（mutarotation）而有偏差；尿素酶的反應則是將水解尿素後釋放出氨氣用酸收集後去滴定，可以得到相當準確的酵素反應產量，更因為如此產物和反應物異相的特性，讓產物幾乎不發生逆反應的這項前提更貼近事實。總之就是，他們因而有相當準確的實驗數據來驗證數學模型，如果用現今的符號來表示的話，這是他們的結果：

\[
v_0=\dfrac{V_{\mathrm{max}}[\mathrm{S}]}{\dfrac{k_2}{k_1}+[\mathrm{S}]}
\]

其中 \(k_2/k_1\) 對應我們前面在討論的 \(K\) 值。

這和 Henri-Michaelis-Menten 的結果幾乎一模一樣，只有比例常數的部分有所不同。前者的版本先只討論第一步的瞬間完成的平衡（忽略 \(k_2\)），最後再代回速率定律式推算讓 \(k_2\) 被動出現在 \(V_{\mathrm{max}}\) 之中，\(K\) 表現的意義會是第一步的酵素與受質的結合能力（畢竟解離常數的倒數就是結合常數，一體兩面）；然而 Van Slyke 他們卻因為第一步總是瞬間完成，直接不把它當成平衡，而是不可逆反應（忽略 \(k_{-1}\)），將這兩步的反應時間加總來得到總反應時間，推導出上面的結果（有興趣的讀者請自行查閱參考資料中的文獻），最終整理出的相當於 \(K\) 值的常數項中含有 \(k_2\)，呈現出的意義更偏向第二步的酵素催化能力。

\[
\mathrm{E} + \mathrm{S}\ {\overset{k_{1}}{\rightarrow}}\ \mathrm{ES}\ {\overset{k_{2}}{\rightarrow}}\ \mathrm{E} + \mathrm{P}
\]

如果你好奇 Van Slyke 他們當初寫出的方程究竟長怎樣⋯⋯

假設尿素水解的產物的濃度在時間為 \(t\) 時有 \(x\)，尿素初濃度則是 \(a\)，那此時待反應的物質的濃度就是 \(a-x\)， 酵素的濃度則用 \(E\) 表示：

\[
\dfrac{dx}{dt}=E \dfrac{cd(a-x)}{d+c(a-x)}
\]

其中 \(c\) 相當於 \(k_1\)，\(d\) 相當於 \(k_2\)，而且因為他們用的尿素酶的產物是氨氣和二氧化碳，立刻就離開環境拿去定量了，不會有反應過太久後產物累積抑制回去的問題，因此上面的形式就已經是對於全程的速率描述，如同 Henri 推導出的通式的效果（至少對於他們使用的酵素反應而言）。不過我們討論的情境是要避免受質的量太少，拖慢與酵素結合的時間降低反應速率，因此要考量初速率，受質才能視為沒有減少：

\[
\left. \dfrac{dx}{dt}\right|_{t\rightarrow 0}=E \dfrac{cda}{d+ca}
\]

分子和分母再約掉一個 \(c\) 就和前面寫的一樣了。

即便解釋方法不同，他們卻依然得出和 Michaelis-Menten 他們一樣的形式，而且都是達到 \(V_{\mathrm{max}}/2\) 所需的受質濃度，可見這點倒是不爭的事實。但 \(K\) 值的形式居然隨著解釋不同而跟著不同，如果雙方都沒問題的話，這是否暗示了他們各自對 \(k_2\) 或 \(k_{-1}\) 的忽略其實是不必要的？沒有必要特別讓第一步達到準平衡，也沒有必要聲稱第一步不可逆。

於是出現了課本所說的「穩態假定（steady-state assumption）」：只要 \([\mathrm{ES}]\) 的量穩定就行。這個點子最早在 1925 年由英國劍橋大學的植物學家 George E. Briggs 和生物學家 J. B. S. Haldane 的一篇簡短報告中提出，用數學式表達就是：

\[
\dfrac{d[\mathrm{ES}]}{dt}=0
\]

為什麼可以假定 \([\mathrm{ES}]\) 的量不變？其實在 Van Slyke 他們的思路中已經隱含了這件事：既然兩個連續的不可逆反應可以一直發生下去，說明了中間體 \(\mathrm{ES}\) 的量會因為生成與消耗的速率一致而維持恆定，因為如果第一步的生成多於第二步的消耗，第二步釋放 \(\mathrm{E}\) 回去的速度追不上第一步，那 \(\mathrm{ES}\) 沒道理一直形成；反之，如果入不敷出，反應很快就跑不動了。而且巧了，Henri-Michaelis-Menten 的準平衡描述也和這穩態假定不矛盾，既然達（準）平衡，生成與消耗速率相同豈不是天經地義？

也不能說是巧合，因為這樣的假定迴避了剛剛 \(k_2\) 和 \(k_{-1}\) 究竟要割捨哪一邊的問題，直接從兩步反應之間的橋樑 \(\mathrm{ES}\) 來切入，這又呼應了最初 Brown 給出的洞見：複合體 \(\mathrm{ES}\) 真的是關鍵！可惜的是在現今的課本和期刊論文中卻常用「Michaelis 複合體（Michaelis complex）」來描述它，真的是⋯⋯搶盡了所有鋒頭欸。

上圖取自 Voet 夫婦的生化課本第四版，可以清楚看到所謂的「穩態」是指灰色方框中 \([\mathrm{ES}]\) 維持穩定的階段，而且這時上面對應的受質濃度 \([\mathrm{S}]\) 會是線性的，也就是零級反應；左端的曲線部分畫得有點誇張了，實際上只在幾毫秒內就完成，實驗是測不到這階段的變化的，這個階段被稱為「瞬間期（transient phase）」；可能會測到的是右端產物開始多到抑制回去的時候，會呈現出等比下降的一級反應。

因此嚴格來說，我們對於 \(v_0\) 的意義需要重新定義一下，這個速率指的是達到穩態時（\(t=t_{\mathrm{s}}\)）的瞬間的速率：

\[
v_0\overset{def}{=} \left. \dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt} \right|_{t=t_{\mathrm{s}}}
\]

原本 Michaelis-Menten 他們因為假設第一步瞬間完成所以不需要這樣說明，於是可能讓你誤以為穩態假定有點多餘，實際上這是一個很細膩的情境調整，我們不必多此一舉假定 \(k_2 \ll k_{-1}\) 來實現準平衡。

那麼基於這個穩態假定，我們就可以反過去推得它對應的 \(K\) 值會是什麼模樣：

\[
\begin{align*}
&\dfrac{d[\mathrm{ES}]}{dt}=k_1[\mathrm{E}][\mathrm{S}]-(k_{-1}+k_2)[\mathrm{ES}]=0\\
&\Rightarrow K=\dfrac{[\mathrm{E}][\mathrm{S}]}{[\mathrm{ES}]}=\dfrac{k_{-1}+k_2}{k_1} \overset{def}{=} K_{\mathrm{m}}
\end{align*}
\]

Briggs 和 Haldane 得出了這個完整的定義，但他們也沒特別為自己邀功，在報告中說明這只是在完善 Michaelis-Menten 模型的理論基礎，後來 Haldane 在自己的著作中也開始稱之為 \(K_\mathrm{m}\)，這就是我們現在所熟知的「Michaelis 常數 \(K_{\mathrm{m}}\)」的由來。這定義也完美化解了前面提到的解讀差異：當你如同 Michaelis-Menten 聲稱 \(k_2 \ll k_{-1}\) 時，\(K_{\mathrm{m}}=K_{\mathrm{s}}\)；當你如同 Van Slyke 聲稱 \(k_{-1}\) 可略時，\(K_{\mathrm{m}}\) 也就退化成了他們的 \(K\) 值。難怪他們會在各自不同（且不必要）的額外前提下，整理出帶有不同意義的不同形式的 \(K\) 值，而其實他們在量測的是同一個比例常數。

最後再重寫一次最終版的 Michaelis-Menten 方程（你也可以自己改用這個新的 \(K_{\mathrm{m}}\) 值定義重推一遍）：

\[
v_0=\dfrac{k_2[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{m}}+[\mathrm{S}]}=\dfrac{V_{\mathrm{max}}[\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{m}}+[\mathrm{S}]}
\]

同樣地，當 \(K_{\mathrm{m}}=[\mathrm{S}]\) 時，\(v_0=V_{\mathrm{max}}/2\)。

Lineweaver–Burk 作圖分析

這裡來說明一下具體該如何應用和計算。Michaelis-Menten 方程中只有 \([\mathrm{S}]\) 是你唯一需要操作的變因，並注意酵素濃度 \([\mathrm{E_T}]\) 不能太大，這樣才可以相對 \([\mathrm{S}]\) 夠小而不管他，然後利用對應的方法測量一定時間內的產物濃度變化得到 \(v_0\)（這要看使用什麼酵素和實驗技術，例如前面提到的 invertase 和尿素酶的方法就不同），接著就得靠作圖分析來做後續的推算了。

先來看看 \(v_0\) 對 \([\mathrm{S}]\) 的圖形會長什麼模樣：

不知為何似乎不少人會誤解這張圖，這並不是在說明酵素與受質反應的動態過程，而是「好幾組」不同受質初濃度與對應的反應初速率一個個標點上去後做成的關係圖（描述隨時間的變化過程的是上一節的那張圖才對），每個點對應的縱軸數值都是「初速率」，要讓曲線漸進到 \(V_{\mathrm{max}}\) 達到「飽和」也是要靠提高加入的受質濃度，不是放著過一段時間就會慢慢飽和，沒有這回事，\(\mathrm{ES}\) 的量也明明是穩定不變的啊！所以這不是隨時間變化的動態過程（橫軸根本不是時間），而是好幾組實驗數據的集合，請特別注意。

根據 Michaelis-Menten 方程，這張圖會是條雙曲線（的其中一支），水平漸近線是 \(v_0=V_{\mathrm{max}}\)，垂直漸近線是畫面外的 \([\mathrm{S}]=-K_{\mathrm{m}}\)（上圖沒畫）。但要對二次曲線去擬合有點難度，誤差也會更大，要是能夠調整坐標軸的變數讓方程變成直線的話，就能直接對實驗結果做迴歸分析了啊⋯⋯。

於是我們有了所謂的 “Lineweaver–Burk plot“，又稱為「雙倒數圖（double reciprocal plot）」，顧名思義它就只是把兩座標弄成倒數，Michaelis-Menten 方程就會線性化：

\[
\dfrac{1}{v_0}= \dfrac{K_{\mathrm{m}}+[\mathrm{S}]}{V_{\mathrm{max}}[\mathrm{S}]}= \dfrac{K_{\mathrm{m}}}{V_{\mathrm{max}}}\ \dfrac{1}{[\mathrm{S}]}+\dfrac{1}{V_{\mathrm{max}}}
\]

那麼接下來應該不必多做解釋了吧？從橫軸截距可得 \(K_{\mathrm{m}}\)，再從斜率推出 \(V_{\mathrm{max}}\)。

有了這兩個數據，你還可以直接算出直接描述酵素的催化能力的 \(k_{\mathrm{cat}}\)（在這裡也就是 \(k_2\)）是多少，因為你本來就能知道自己加入的酵素總濃度 \([\mathrm{E_T}]\)（最好還是要實際檢測真正有活性的是多少，比方說加入不可逆抑制劑去定量就知道），那再簡單推算一下就有了：

\[
\dfrac{V_{\mathrm{max}}}{[\mathrm{E_T}]}=k_2=k_{\mathrm{cat}}
\]

順便再說明一次，寫成 \(k_{\mathrm{cat}}\) 單純是為了強調這是催化的那一步的速率常數，對於多個受質與酵素結合的情況的話，「第二步」當然就不是催化那一步，更別說對於催化機制是多步驟的酵素，它的 \(k_{\mathrm{cat}}\) 會變成是那些反應的 \(k\) 值的函數，所以這個寫法的區分是必要的。

線性化的方式不只 Lineweaver–Burk 這一種，當然還有其他版本，例如縱軸是 \(v_0\) 且橫軸是 \(v_0/[\mathrm{S}]\) 的 Eadie-Hofstee，還有用 \([\mathrm{S}]/v_0\) 和 \([\mathrm{S}]\) 的 Hanes-Woolf，有興趣的人可以自己推推看，這裡就不再介紹了。

專一性常數與催化效率

說了那麼多，究竟我們該如何描述一個酵素的催化能力有多強？

從前面的歷史脈絡中可以看到，根據不同的額外前提可以讓 \(K\) 值突顯出酵素的兩種不同能力：與受質結合的能力（專一性好不好）或催化的能力（效率多高），但後來定義的 \(K_{\mathrm{m}}\) 同時和這兩件事有關，你其實無法從這個數值辨別出酵素究竟哪裡強，它真正具有的意義其實就只有：反應初速率要達到 \(V_{\mathrm{max}}/2\) 所需的受質濃度。你可以從單位分析來確認這件事：

\[
v_{\mathrm{ES} 生成}\ =k_1 [\mathrm{E}][\mathrm{S}]\\
v_{\mathrm{ES} 消耗}\ =k_{-1} [\mathrm{ES}]+k_{2} [\mathrm{ES}]
\]

很明顯地，\(k_1\) 的單位會是 \(\mathrm{M}^{-1} \mathrm{s}^{-1}\)，\(k_{-1}\) 和 \(k_2\) 則是 \(\mathrm{s}^{-1}\)，那 \(K_{\mathrm{m}}\) 的單位當然就是濃度單位 \(\mathrm{M}\) 啦！

而且你還可以發現，在催化那一步將 \(\mathrm{ES}\) 轉換為產物的速率常數 \(k_{\mathrm{cat}}\)（在這裡就是 \(k_2\)），它的單位必然是 \(\mathrm{s}^{-1}\)，因為它一定滿足：

\[
k_{\mathrm{cat}}=k_2=\dfrac{V_{\mathrm{max}}}{[\mathrm{E_T}]}
\]

換個角度想，\(V_{\mathrm{max}}\) 是所有酵素都在反應時（飽和）的速率，除掉酵素總濃度就表現出單位時間內有多少反應在往前推進，因此催化常數 \(k_{\mathrm{cat}}\) 又會被叫做「轉換數（turnover number）」，它表現了一個酵素（的活性位）如果有在運作的話，一秒內可以進行的反應次數。

那所以到底該怎麼呈現酵素的能力？為這個問題補上最後一塊關鍵拼圖的是一位英國化學家 Alan Fersht，他在 1974 年的論文中為穩態假定的理解給出了相當清楚的邏輯，而且首次對酵素的專一性（specificity）給出了可量化的定義。道理其實相當簡單，當我們在問一個酵素在以上那整個反應流程（包括第一步的專一性結合與第二步的催化反應）所表現的整體能力，其實相當於是在問總反應式的速率定律式的速率常數（假設叫 \(k’\)）究竟是多少（同樣假設達到穩態）：

\[
v_0=k'[\mathrm{E}]^x[\mathrm{S}]^y
\]

這是起碼有兩步驟的反應，所以反應級數（\(x\) 和 \(y\)）理應是未知的，但明明我們已經有現成的模型，直接套用就好啦！根據穩態假設，\(K_{\mathrm{m}}\) 和各成分的濃度有這個關係：

\[
\dfrac{[\mathrm{E}][\mathrm{S}]}{[\mathrm{ES}]}=\dfrac{k_{-1}+k_2}{k_1} = K_{\mathrm{m}}
\]

然後我們想要的（達穩態的瞬間時）產物生成的速率是：

\[
v_0=k_{\mathrm{cat}}[\mathrm{ES}]
\]

那直接把 \([\mathrm{ES}]\) 給代換掉，Voilà！這就有我們要的速率定律式啦：

\[
v_0=\dfrac{k_{\mathrm{cat}}}{K_{\mathrm{m}}}[\mathrm{E}][\mathrm{S}]
\]

我們前面是不是有做過類似的操作，然後結果卻跑出 Michaelis-Menten 方程對吧？當時為了讓與 \([\mathrm{ES}]\) 有關聯的 \([\mathrm{E}]\) 用總酵素濃度 \([\mathrm{E_T}]\) 改寫掉，所以多做了一些整理後才進行代換；但是在這裡不需要，我們現在有意要留下 \([\mathrm{E}]\) 這個函數，來湊成這個我們要的結果：這個速率常數是 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 的速率定律式，而且是二級的！

在 Fersht 的論文中他的邏輯是這樣，而且他不是用 \(K_{\mathrm{m}}\) 而是如同 Michaelis-Menten 他們一樣使用 \(K_\mathrm{s}\)，這點沒什麼關係畢竟大部分酵素第一步都在微秒內完成前面已經解釋過了，但各位在課本中常會看到的解釋方法應該不是這樣，而是擅自引入 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}\) 這個條件，為什麼呢？

我想這應該只是為了方便你和前面已經出現過的另一個極端來對照而已，我們已經知道當 \([\mathrm{S}]\gg K_{\mathrm{m}}\) 時酵素會達到飽和（\([\mathrm{ES}]=[\mathrm{E_T}]\)），反應速率也達到最大值，而這個關係式看起來也是個速率定律式：

\[
v_0=k_2[\mathrm{ES}]=k_2[\mathrm{E_T}]=V_{\mathrm{max}}
\]

但注意他是零級的，全部都是常數，然後如果把條件翻轉讓 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}\) 的話，根據 Michaelis-Menten 方程會得到：

\[
v_0=k_2[\mathrm{ES}]=\dfrac{k_2[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{m}}}
\]

而且現在的 \(\mathrm{S}\) 相當少，形成的 \(\mathrm{ES}\) 當然也很少，不就表示這時 \([\mathrm{E_T}]\approx [\mathrm{E}]\)：

\[
v_0\approx \dfrac{k_2[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{m}}}=\dfrac{k_{\mathrm{cat}}}{K_{\mathrm{m}}} [\mathrm{E}][\mathrm{S}]
\]

這和上面的速率定律式不是幾乎一樣嗎？只是差在多了一個 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}\) 這個條件，它對於速率定律式的形成不是必要，但為了實際上做實驗方便操作，讓我們可以把變數 \([\mathrm{E}]\) 用定值 \([\mathrm{E_T}]\) 代入（這時就變成一級了，呼應前面說的受質濃度太低的話會從零級變成一級），如果你要真的去做這個方程式的近似的話還是調整到讓受質濃度比 \(K_{\mathrm{m}}\) 小幾個數量級比較好。那 \([\mathrm{S}]\) 的部分不也是變數嗎？理論上是，但別忘了我們從頭到尾都有一個霸凌酵素的條款：\([\mathrm{S}]\gg [\mathrm{E_T}]\)，雖然前面剛剛說要你調小受質濃度，但記得還是要和酵素總濃度有點差距，這樣前面整套動力學理論才成立，穩態也才會維持啊。話說其實以上全文的 \([\mathrm{S}]\) 應該嚴格來說幾乎要改寫成 \([\mathrm{S}_0]\) 啦，只是這個條款是對全場下的 buff，我就沒特別這樣寫了（課本也是）。

拉回來原本要討論的酵素能力問題，現在知道整體而言我們可以看 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 這個常數來評估酵素的能力，我們先來解讀這個比例在幹嘛：

考慮一組特定的受質與酵素之間的關係，我們可以做實驗得到表現出兩者結合能力的 \(K_{\mathrm{m}}\)（或 \(K_{\mathrm{s}}\)），和表示活性位的催化能力的 \(k_{\mathrm{cat}}\)。從以上的介紹中你應該已經可以發現，在 \(K_{\mathrm{s}}\ll [\mathrm{S}]\) 和 \(K_{\mathrm{s}}=[\mathrm{S}]\) 的時候都可以用 \(V_{\mathrm{max}}\)（或它的一半） 來描述反應速率，可見酵素能力表現更多時候是和 \(k_{\mathrm{cat}}\) 有關，畢竟第一步的結合我們幾乎當他瞬間完成；但前面也已經看到光是這樣還不足，因為當 \(K_{\mathrm{s}}\gg [\mathrm{S}]\) 的時候 \(K_{\mathrm{m}}\) 的角色就顯得更加重要了，在受質的量不高時，酵素對他的專一性問題就成為當務之急，不然如果我們總是用超大量的受質去迫使專一性即便可能不是很好的酵素來讓他看起來反應快，這樣完全是在逃避問題。

所以用 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 來綜合評估就更恰當了，單獨看分子或分母那個都有失公平。

那同時看呢？你可能會覺得，看起來 \(k_{\mathrm{cat}}\) 越大而且 \(K_{\mathrm{m}}\) 越小，酵素肯定就越強，是嗎？假設我們可以自己用蛋白質工程（protein engineering）來設計任何想要的酵素，真的可以讓這兩個數值有這種趨勢嗎？答案有點反直覺：不行，這在熱力學上根本行不通，這也是 Fersht 的論文中在呈現的一大重點。

因為當你讓 \(K_{\mathrm{m}}\) 非常小，這表示 \(\mathrm{ES}\) 幾乎不分解，受質和酵素結合的非常緊（自由能更低），與此同時會讓下一步發生的門檻更高（活化能更大），\(k_{\mathrm{cat}}\) 會受到連帶影響而跟著下降。其實你也本就可以從 \(K_{\mathrm{m}}\) 的定義中看到這件事，雖然平常都假設 \(k_2 \ll k_{-1}\) 讓他等同 \(K_{\mathrm{s}}\)，但如果現在要讓 \(K_{\mathrm{m}}\) 的數值很低，那早已說不準這是由哪一項給的貢獻。但如果是要拉高單純的 \(k_{\mathrm{cat}}\) 數值當然沒問題，他確實會讓酵素的反應速率增加，但同時也會跟著拉大 \(K_{\mathrm{m}}\) 的數值喔。

如果還是覺得有疑慮的話，不妨試驗算看看下面的數據：

\(k_{\mathrm{cat}}\) (\(\mathrm{s}^{-1}\))	\(K_{\mathrm{m}}\) (\(\mathrm{M}\))	單位酵素的反應初速率 \(v_0/[\mathrm{E_T}]\) (\(\mathrm{s}^{-1}\))
\(10^3\)	\(1\)	\(0.999\)
\(10^2\)	\(1\times 10^{-1}\)	\(0.990\)
\(10\)	\(1\times 10^{-2}\)	\(0.909\)
\(1\)	\(1\times 10^{-3}\)	\(0.500\)
\(1\times 10^{-1}\)	\(1\times 10^{-4}\)	\(0.090\)
\(1\times 10^{-2}\)	\(1\times 10^{-5}\)	\(0.009\)
\(1\times 10^{-3}\)	\(1\times 10^{-6}\)	\(0.001\)

上表是假設 \([\mathrm{S}]=10^{-3}\ \mathrm{M}\)，而且 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 固定都是 \(10^3\)，最右邊那行是算出來的反應速率（為避免還要算大家都一樣的酵素總濃度所以直接當作已經除掉），是不是清楚可以看到，\(K_{\mathrm{m}}\) 一直拉低的話完全在拖垮反應速率，我們更應該要追求的是更高的 \(k_{\mathrm{cat}}\)，同時用 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 來評估酵素對受質的結合能力：專一性。

其實講白話就是，酵素抓得住受質就夠了不用抓太緊，我們更要想辦法的是催化速度要快！但如果受質濃度太小時，酵素首先能不能好好和受質結合（專一性）就該特別擔心了，可是這又和下一步的催化反應難分難捨，所以要看 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\) 來綜合評估。

那如果要比較兩組不同的受質與酵素的組合呢？既然是和專一性有關，這當然可以用來比較同一個酵素和不同受質的結合。假設兩組受質相關的數據分別用 \(\mathrm{A}\) 和 \(\mathrm{B}\) 表達，並把兩者的速率相除的話：

\[
\dfrac{v_\mathrm{A}}{v_\mathrm{B}}=\dfrac{(k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{A}}/K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{A}})[\mathrm{E}][\mathrm{S_A}]}{(k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{B}}/K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{B}})[\mathrm{E}][\mathrm{S_B}]}
\]

其中的 \([\mathrm{E}]\) 雖然不是定值，但是是在同一個環境裡共同被那兩個受質使用，管他是多少都是一樣的，所以可以消掉。然後受質濃度 \([\mathrm{S_A}]\) 和 \([\mathrm{S_B}]\) 也一樣幾乎是定值，就算兩受質濃度加入不一樣的，那就照上面的公式考量就好啦，倒是幹嘛找自己麻煩，你在評估這件事的時候就用一樣的受質濃度來比較不就可以直接約掉了，於是就剩下這個可以用來這樣互相比較不同受質對同一酵素的專一性的比值 \(k_{\mathrm{cat}}/K_{\mathrm{m}}\)，它因此被稱為「專一性常數（specificity constant）」。

那他可以用來評估不同酵素對同一受質的催化能力嗎？各位的生化課本應該幾乎都把這當成是可以的，於是告訴你這個比值又叫做「催化效率（catalytic efficiency）」，但這其實是很有問題的誤用（R. Eisenthal et al., 2007）！

為何不行？如果同樣和上面一樣寫法，假設兩組酵素相關的數據分別用 \(\mathrm{A}\) 和 \(\mathrm{B}\) 表達：

\[
v_\mathrm{A}=(k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{A}}/K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{A}})[\mathrm{E_A}][\mathrm{S}]\\
v_\mathrm{B}=(k_{\mathrm{cat}}^{\mathrm{B}}/K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{B}})[\mathrm{E_B}][\mathrm{S}]
\]

如果把這兩式相除，這次換 \([\mathrm{S}]\) 管他改變多少都可以消掉（雖然我們本就假設他根本幾乎不變），但是 \([\mathrm{E_A}]\) 和 \([\mathrm{E_B}]\) 我們知道是多少嗎？前面 \([\mathrm{S_A}]\) 和 \([\mathrm{S_B}]\) 是因為它們是受質，我們一直都假設他幾乎不會減少，但是單純的酵素的量可不是，有多少結合成 \(\mathrm{ES}\) 你根本不知道，如果要把你加入的酵素濃度直接當這個來算，這只能在 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{A}}\) 而且 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}^{\mathrm{B}}\) 的時候可以這樣近似，那這時候的確，專一性常數可以拿來比較催化效率。但是這種濃度並不是多數情況，Garrett 的生化課本其實也有說在大部分生理環境中的 \([\mathrm{S}]/K_{\mathrm{m}}\) 落在 \(0.01\) 到 \(1.0\) 的區間，還不至於到可以說 \([\mathrm{S}]\ll K_{\mathrm{m}}\) 的程度，但課本還是決定用這個參數說明催化效率⋯⋯。

如果要真正比較兩酵素對同一個受質的催化效率，最正確的方法是要直接用各自的 Michaelis-Menten 方程下去算，搭配實際的受質濃度，這樣的比較才是有效的，否則兩酵素可能明明有同樣的專一性常數，在某受質濃度下時酵素 \(\mathrm{A}\) 比 \(\mathrm{B}\) 反應速率快，但在另一個受質濃度下時變成 \(\mathrm{B}\) 比 \(\mathrm{A}\)，這當然就無法相比了。

詳細的討論建議有興趣的人去找下方參考資料的最後一篇文獻來看，打到這裡覺得本文資訊量已經夠大了，而且反正課本也多半對此不太在意，我先就此打住吧。

達物理極限的催化極致

另外值得一提的是，在物理化學的擴散理論中的 Einstein-Smoluchowski 方程可以被應用來這裡。簡單來說，那個理論計算了溶液中兩個分子可以透過布朗運動相遇的頻率，而且還推導出這兩分子的二級反應速率常數的上限公式；如果假設在 25˚C 的水溶液中有兩個半徑 18 Å 的圓球（球蛋白的普遍大小），他們任何方向的接觸都算數的話，這個上限大概是 \(7\times 10^9\ \mathrm{M^{-1} s^{-1}}\)；如果考量更大的分子（例如核苷酸）則會縮小到 \(10^8\) 的尺度，所以在生化上會說兩個小分子的擴散控制極限（diffusion-controlled limit）大概落在 \(10^8\) 到 \(10^9\ \mathrm{M^{-1} s^{-1}}\) 這個區間。

這和前面談的專一性常數有很直接的關係，因為如果把它稍微整理一下可以發現：

\[
\dfrac{k_{\mathrm{cat}}}{K_{\mathrm{m}}}=\dfrac{k_2 k_1}{k_{-1}+k_2}=\dfrac{k_2}{k_{-1}+k_2}\cdot k_1 \le k_1
\]

\(k_1\) 前面的比值如果在 \(k_2\ll k_{-1}\) 時（第二步是速率決定步驟）必然是小於 \(1\) 的正值，而且有注意到嗎？這比值沒有單位，倒是 \(k_1\) 和 \(\dfrac{k_{\mathrm{cat}}}{K_{\mathrm{m}}}\) 的單位都和前面的擴散頻率一樣，\(k_1\) 也正是第一步 \(\mathrm{E}\) 和 \(\mathrm{S}\) 的二級反應速率常數，那麼乘上去的那個比值不就是在說明這兩分子相遇後完成反應的成功率嗎？

假設極端到 \(k_2\gg k_{-1}\) 這種情況，第二步的催化快到讓第一步相對顯得慢了，受質與酵素結合就立刻完成催化，那 \(\dfrac{k_{\mathrm{cat}}}{K_{\mathrm{m}}}\) 就幾乎等於 \(k_1\)，也就是說，整個反應速率再快也會卡在有物理極限的第一步，於是我們有了這樣的絕對的指標：專一性常數落在 \(10^8\) 到 \(10^9\ \mathrm{M^{-1} s^{-1}}\) 這個物理極限的範圍內的酵素相當於催化那步瞬間完成，被稱為達到了「催化極致（catalytic perfection）」！

就這個角度來看，專一性常數的確在這裡有了和催化效率有關的意義在，但這是絕對性的指標而非相對的比較，上一小節後半指出的使用錯誤是專一性常數不能被濫用到用來比較任何酵素與受質反應的相對優劣，兩酵素可能都和催化極致有一樣的差距（專一性常數相同），但對於同一個受質的行為依然可能取決於受質濃度。

延伸：藥效學的效價

最後簡短延伸一個藥效學（Pharmacodynamics）的基礎方程式，這裡是介紹給本就學過一點基礎的人，所以如果沒有接觸過這門學科的可以跳過沒關係。

當投放濃度為 \(\mathrm{C}\) 的 agonist 和對應的受體（receptor）反應時，產生的效應 \(\mathrm{E}\) 和前面介紹的 Michaelis-Menten 模型理所當然有相同的形式：

\[
\mathrm{E}=\dfrac{\mathrm{E_{max} C}}{\mathrm{EC}_{50}+\mathrm{C}}
\]

其中 \(\mathrm{E_{max}}\) 是這個 agonist 可以達到的最大效應，也就是效力（efficacy），\(\mathrm{EC}_{50}\) 則是達到其 \(50\%\) 所需的濃度，可以作為效價（potency）的一種指標，其值越小效價就越高，反之亦然。這似乎對應到酵素動力學中的 \(K_{\mathrm{m}}\)，其值越小也通常代表結合能力越高，但這個隱含的前提是第一步的反應很快就完成，假設 \(k_2 \ll k_{-1}\) 的話還會直接等於 \(K_{\mathrm{s}}\)，而它骨子裡其實就是解離常數 \(K_{\mathrm{d}}\)，只是在準平衡的情況中換個名字描述。

有上過藥效學的同學這時應該已經注意到了，課本在這裡常會拿 \(\mathrm{EC}_{50}\) 和 \(K_{\mathrm{d}}\) 比較，說明一個單純與受體結合的藥物濃度也滿足這種關係：

\[
\mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{B_{max} C}}{K_{\mathrm{d}}+\mathrm{C}}
\]

其中 \(\mathrm{B_{max}}\) 是受體（全部與藥物結合）的總濃度，這也對應到前面的：

\[
[\mathrm{ES}]=\dfrac{[\mathrm{E_T}][\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{s}}+[\mathrm{S}]}
\]

然後藥效學課本會告訴你 \(\mathrm{EC}_{50}\) 和 \(K_{\mathrm{d}}\) 不等同，這其中的道理豈不是和 \(K_{\mathrm{m}}\) 與 \(K_{\mathrm{s}}\) 的關聯是相同的邏輯嗎？前者都可能還會受到後續其他的步驟影響（\(\mathrm{EC}_{50}\) 和下游的藥物作用機制有關，\(K_{\mathrm{m}}\) 則和下一步催化反應有關），後者則都單純描述第一步平衡反應的結合能力。

不過 \(K_{\mathrm{m}}\) 必定大於或等於 \(K_{\mathrm{s}}\)，但 \(\mathrm{EC}_{50}\) 到底和 \(K_{\mathrm{d}}\) 誰大誰小說不準，畢竟它衡量的是「效果」，藥物與受體結合能力有多強和到底需要多少與受體結合數才會產生很高的藥效本就沒有必然關聯，也可能有藥物只要有一點點成功與受體結合就能產生超高的藥效。

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參考資料＆圖片來源

1. Biochemistry (4/e)
   Donald Voet, Judith G. Voet｜2010｜Wiley
   本文大部分圖表取自這本課本。
2. Biochemistry (7/e)
   Reginald H. Garrett, Charles M. Grisham｜2023｜Cengage Learning
   Lineweaver–Burk 的圖取自這本課本。
3. Three-dimensional Structure of Saccharomyces Invertase.
   M. Angela Sainz-Polo, et al.｜2013｜J. Biol. Chem. 288(14), 9755-9766.
   DOI: 10.1074/jbc.M112.446435
   關於 invertase 的詳細資料可以參考這篇。
4. Enzyme Action.
   Adrian J. Brown｜1902｜J. Chem. Soc., Trans. 81, 373-388.
   DOI: 10.1039/ct9028100373
5. Théorie générale de l’action de quelques diastases.
   Victor Henri｜1902｜C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. 135, 916–919.
   DOI: 10.1016/j.crvi.2005.10.007
6. Die Kinetik der Invertinwirkung.
   Leonor Michaelis & Maud Leonora Menten｜1913｜Biochem. Z. 49, 333-369.
7. The mode of action of urease and of enzymes in general.
   D. D. Van Slyke & G. E. Cullen｜1914｜J. Biol. Chem. 19, 141–180.
   DOI: 10.1016/S0021-9258(18)88300-4
8. On the Occurrence of Urease in Higher Plants.
   T. Takeuchi (竹内徳三郎)｜1909｜J. Coll. Agric., Tokyo Imp. Univ. 1, 1-14.
9. A Note on the Kinetics of Enzyme Action.
   George E. Briggs & J. B. S. Haldane｜1925｜Biochem. J. 19(2), 338–339.
   DOI: 10.1042/bj0190338
10. The Determination of Enzyme Dissociation Constants.
    Hans Lineweaver & Dean Burk｜1934｜J. Am. Chem. Soc. 56(3), 658-666.
    DOI: 10.1021/ja01318a036
11. Catalysis, binding and enzyme-substrate complementarity.
    Alan Roy Fersht｜1974｜Proc. R. Soc. Lond. B. 187(1089), 397-407.
    DOI: 10.1098/rspb.1974.0084
12. Kinetics of protein-protein association explained by Brownian dynamics computer simulation.
    Scott H. Northrup & H. P. Erickson｜1992｜Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 89(8), 3338-3342.
    DOI: 10.1073/pnas.89.8.3338
13. The Origins of Enzyme Kinetics.
    Athel Cornish-Bowden｜2013｜FEBS Letters, 587(17), 2725-2730.
    DOI: 10.1016/j.febslet.2013.06.009
14. One hundred years of Michaelis–Menten kinetics.
    Athel Cornish-Bowden｜2015｜Perspectives in Science, 4, 3-9.
    DOI: 10.1016/j.pisc.2014.12.002
    上面這兩篇 review 蠻詳細介紹了 Michaelis-Menten 的理論發展史和後續影響。
15. Catalytic efficiency and kcat/KM: a useful comparator?
    Robert Eisenthal, Michael J Danson, David W Hough｜2007｜Trends. Biotechnol. 25(6), 247-249.
    DOI: 10.1016/j.tibtech.2007.03.010
    關於 catalytic efficiency 和 specificity constant 這兩術語的誤用問題。

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